


1. 6×6方格染色问题
命题特征:组合计数与构造限制相结合
要求每行红色方格的数量各不相同,每列红色方格的数量也各不相同,这本质上要求行红色方格数量和列红色方格数量均为0到6的一个排列。
该问题考查排列构造与染色计数的综合能力,可能会涉及拉丁方或双射构造的思想。
2. 整数三元组计数问题
命题特征:整数条件约束与分类计数相结合
条件包含元素互不相同、两数之差不小于7、至少有一个元素小于10、至少有一个元素大于20。
此问题考查整数区间划分与容斥原理或枚举法的综合运用。
3. 实数取值范围问题
命题特征:多项式约束与最值分析相结合
可能会运用多项式插值或不等式放缩的方法,考查代数变形与极值分析的能力。
4. 二次方程整数根问题
命题特征:整数根与大范围枚举相结合
方程形式为x^2 + 2^a b^b + 3^c = 0,要求方程具有整数根,且a,b,c互不相同且不大于2025。
该问题考查整数根判别式、指数方程与大范围枚举构造的能力。
5. 几何面积与圆相切问题
命题特征:几何构造、面积计算与圆相切条件相结合
涉及等边三角形的扩展构造、外接圆相切条件,求解多项式的最小整数值。
综合考查几何计算、圆的性质与代数式求值的能力。
6. 数论与最大公因数问题
命题特征:数论、最小素因子与最大公因数相结合
要求满足\(d = p \cdot \gcd(M,d)\),其中\(p\)为\(d\)的最小素因子。
考查数论分解与最大公因数的构造性分析能力。
7. 向量运算与不等式恒成立问题
命题特征:自定义向量运算与不等式恒成立相结合
定义了一种新的向量运算,要求不等式对任意10个点均成立,求解\(C\)的取值范围。
考查向量运算性质、矩阵或二次型与不等式分析的能力。
8. 动点几何与外心最值问题
命题特征:动点构造、几何变换与最值分析相结合
涉及正三角形的构造、圆与切线、外心轨迹,求解线段OE的最大值。
考查几何动态分析、极值定位与计算的能力。
9. 几何证明题
命题特征:圆几何、中点、垂直关系与角度相等相结合
涉及四点共圆、中点构造、垂直条件,证明角度相等。
考查几何推理与构造辅助线的能力。
10. 数论与有理逼近问题
命题特征:有理逼近与好数计数相结合
给出两个逼近条件,定义“好的”整数,证明好数的个数 存在上界。考察丢番图逼近与计数估计能力时,可能会运用抽屉原理或区间划分方法。
11. 序列构造与整数条件问题
命题特征:序列构造、整数约束与组合结构相结合。
要求构建一个满足递推关系和配对条件的序列。考查整数序列构造、排列组合以及逻辑分类能力。
12. 不等式与最值问题
命题特征:幂和约束、多项式不等式与最优界相关。
给定平方和与四次方和的条件,证明某个对称多项式存在上界,并求解其最小整数上界。考查幂和不等式、对称多项式放缩以及极值构造能力。
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